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L’effet papillon 2/5

Du chaos à l’interdépendance

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« Dans tout chaos, il y a un cos­mos, dans tout désordre, un ordre secret. » [1]


Cet article fait suite à celui sur les sys­tèmes chao­tiques, dans lequel j’ai rap­pe­lé le rôle déci­sif d’Henri Poincaré et d’Edward Lorenz dans la décou­verte et le fon­de­ment de la théo­rie du chaos.

Lorenz a éga­le­ment mis en évi­dence une pro­prié­té fas­ci­nante des sys­tèmes chao­tiques : sur le long terme, ils finissent par oscil­ler autour de ce qui semble être un nombre fini de valeurs. On dit que ces valeurs s’accumulent sur un attrac­teur.

Si les attrac­teurs paraissent alors indis­so­ciables du chaos, ils pour­raient pour­tant bien s’inscrire dans un autre ordre des choses, mis en évi­dence par la théo­rie de l’univers connec­té de Nassim Haramein. C’est ce que je vous invite à décou­vrir dans cet article !

                 

Des attracteurs étranges

Les sys­tèmes chao­tiques semblent évo­luer de manière para­doxale. D’un côté, leur sen­si­bi­li­té aux condi­tions ini­tiales les rend impré­vi­sibles dans la durée. De l’autre, ils finissent cepen­dant par repro­duire les mêmes pat­terns. Finalement, si l’on observe les choses sur le long terme, ils sont donc rela­ti­ve­ment pré­vi­sibles et… insen­sibles aux condi­tions de départ ! Pour avoir une idée de ce qui va émer­ger du chaos, reste alors à s’intéresser aux points fixes et pério­diques, ces fameux attrac­teurs vers les­quels ils finissent par conver­ger.

L’attracteur reflète le mou­ve­ment du sys­tème, il per­met de se rendre compte de sa vitesse et de sa posi­tion. A un sys­tème régu­lier sera lié un attrac­teur très simple, comme un cercle ou une ellipse. Mais pour un sys­tème chao­tique à trois variables, l’attracteur devient plus com­plexe.

Pour s’en rendre compte, il suf­fit de modé­li­ser ce que l’on appelle l’espace des phases. Il s’agit de l’espace où se situent les dif­fé­rentes phases par les­quelles passe le sys­tème. Un chan­ge­ment de phase étant carac­té­ri­sé en phy­sique par une modi­fi­ca­tion sou­daine de l’état du sys­tème. Si vous avez déjà fait une mayon­naise mai­son, vous savez de quoi je parle. Si, si ! Vous obser­vez le mélange du jaune d’œuf, de la mou­tarde, du vinaigre et de l’huile se faire gra­duel­le­ment, mais irré­ver­si­ble­ment, jusqu’à un cer­tain point. Au-delà de ce point, le sys­tème bas­cule et change de phase : l’état « mayon­naise » se mani­feste alors.

Si l’on modé­lise l’espace des phases d’un sys­tème chao­tique, on obtient une « courbe » [2] plu­tôt sin­gu­lière : elle repro­duit tout le temps le même mou­ve­ment, sans jamais se recou­per. Par exemple, l’attracteur de Lorenz (voir l’illustration prin­ci­pale de cet article) est com­po­sé de deux « boucles » qui res­semblent à un… papillon ! En théo­rie du chaos, on qua­li­fie ces attrac­teurs d’étranges.

               

Des attracteurs étranges, vraiment ?

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Diagramme de bifur­ca­tion vers le chaos par dou­ble­ment de période [3]


Si les attrac­teurs étranges peuvent prendre plu­sieurs formes, ils ont un point com­mun : leur struc­ture se répète à l’identique, à l’infini. C’est une frac­tale. On peut voir cette struc­ture appa­raître sur le dia­gramme ci-dessus.

Il y a en revanche une chose que l’on ne peut pas voir sur l’illus­tra­tion de l’at­trac­teur de Lorenz, c’est que leurs valeurs n’existent pas sur une seule « sur­face » mais dans une pro­fon­deur de « sur­faces ».

Toujours est-il que même si un sys­tème chao­tique évo­lue vers l’attracteur de façon erra­tique et impré­vi­sible, il conver­ge­ra tôt ou tard vers lui. Il évo­lue­ra donc d’un chaos appa­rent vers une cer­taine régu­la­ri­té. Dans le cas de l’attracteur de Lorenz, le nombre de tours sur une région ou une autre reste tou­te­fois dif­fi­cile à pré­dire. Mais quel que soit le point de départ – donc quelles que soient les condi­tions ini­tiales – toutes les tra­jec­toires fini­ront par pas­ser par l’une ou l’autre région, et avec la même fré­quence.


« Avec les années, les minus­cules per­tur­ba­tions n’aug­mentent ni ne dimi­nuent la fré­quence des évé­ne­ments météo comme les tor­nades, le plus qu’elles puissent faire est de modi­fier l’ordre dans lequel ces évé­ne­ments se pro­duisent. »
[4]


Ainsi, quand bien même Monsieur papillon ne bat­trait pas des ailes, Madame tor­nade fini­rait par arri­ver. Simplement, elle arri­ve­rait à un moment dif­fé­rent. Autrement dit, en variant légè­re­ment les condi­tions de départ, on obtient – ou pas – une tor­nade à un moment don­né à un endroit don­né. Cependant, à la fin, les deux évo­lu­tions (les deux boucles de l’attracteur) contien­dront autant de tor­nades l’une que l’autre. On dit que les attrac­teurs étranges révèlent un spectre conti­nu de fré­quences.

Les phé­no­mènes de tur­bu­lences, étu­diés par la méca­nique des fluides, ne se limitent pas à la météo­ro­lo­gie. Ils sont aus­si obser­vés en méde­cine, avec le com­por­te­ment du sang dans un ané­vrisme [5].

                  

L’exemple de l’anévrisme

A l’intérieur de l’artère, l’écoulement du sang est régu­lier. On parle de flux san­guin lami­naire : les tra­jec­toires des par­ti­cules voi­sines à un ins­tant don­né res­tent voi­sines aux ins­tants sui­vants. Les seules pertes d’éner­gie sont liées à la vis­co­si­té, qui offre une résis­tance à l’écoulement uni­forme du sang. En revanche, lorsque le sang s’engouffre dans un ané­vrisme, le chaos semble s’installer : le flux san­guin devient tur­bu­lent.

Les condi­tions qui déter­minent si un flux est lami­naire ou tur­bu­lent sont don­nées par le nombre de Reynolds (Re). Il s’agit d’un rap­port entre les forces d’inertie liées à la vitesse d’écoulement, et les forces de frot­te­ments liées à la vis­co­si­té.

Re = 2pvr/ η (où p est la masse volu­mique, v est la vitesse, r le rayon et η la vis­co­si­té)

anevrisme-structure-dissipative

Au-delà d’une vitesse cri­tique (Re éle­vé), le sys­tème arrive à un point de bifur­ca­tion. L’écoulement devient tur­bu­lent, le flux san­guin donne alors une impres­sion de désordre et de com­plexi­té. Il est en fait très struc­tu­ré et se com­pose de « tour­billons ». Bien que la nature du sys­tème san­guin reste la même, sa struc­ture macro­sco­pique change.

Telle la dyna­mique des sys­tèmes chao­tiques, la dyna­mique des tour­billons suit une géo­mé­trie frac­tale. La divi­sion des grands tour­billons en tour­billons plus petits per­met un trans­fert d’éner­gie des grandes vers les petites échelles. On parle de cas­cades d’énergie qui, elles, occa­sionnent une forte dis­si­pa­tion d’éner­gie [6].

La dyna­mique des phé­no­mènes de tur­bu­lences est iden­tique quelle que soit l’é­chelle consi­dé­rée : ané­vrisme, tour­billons météo­ro­lo­giques on l’a vu, mais aus­si grandes struc­tures de l’univers comme les amas de galaxies. Et un petit tour dans l’univers connec­té va nous per­mettre de com­prendre pour­quoi il en est ain­si !

                      

Les systèmes chaotiques dans l’univers connecté

Adieu, systèmes isolés

Si la sen­si­bi­li­té aux condi­tions ini­tiales est dis­cu­table dans les sys­tèmes chao­tiques, elle n’a plus lieu d’être dans l’univers connec­té.

La clé est de com­prendre que, pre­miè­re­ment, aucun sys­tème n’est ou ne devient chao­tique. Tous les sys­tèmes sont com­plexes [7] par nature. Ils peuvent cepen­dant appa­raître déter­mi­nistes sur une cer­taine période de temps et au moment où ils sont étu­diés. Isolés et alors pour­vus de condi­tions ini­tiales, ils connaissent par­fois un état sta­tion­naire tran­si­toire. C’est cet état qui per­met de pré­dire les éclipses par exemple.

Deuxièmement, la pro­blé­ma­tique des condi­tions ini­tiales ren­voie à celle des sys­tèmes iso­lés. En effet, si un sys­tème n’est pas iso­lé de son envi­ron­ne­ment à un moment don­né, à par­tir de quand estime-t-on qu’il se trouve dans les condi­tions ini­tiales vou­lues ?

Dans l’univers connec­té, par­ler de sys­tèmes linéaires, de sys­tèmes chao­tiques ou de sys­tèmes com­plexes iso­lés – et donc de condi­tions ini­tiales – n’a aucun sens. Il n’existe qu’un seul sys­tème com­plexe, dont les variables sont en constante inter­ac­tion : l’univers lui-même. Il est com­po­sé de sous-systèmes com­plexes, qui sont liés et inter­agissent les uns avec les autres par retour d’information. Ils suivent une dyna­mique frac­tale, où chaque niveau contient davan­tage d’information que le pré­cé­dent. Dans un tel uni­vers, est-il si bizarre que les attrac­teurs soient étranges parce qu’ils suivent une dyna­mique frac­tale ?

Un uni­vers frac­tal implique éga­le­ment que déter­mi­nisme et indé­ter­mi­nisme coha­bitent, de sorte que tout est tou­jours en train de se déter­mi­ner. On abou­tit alors à la for­ma­tion de struc­tures constam­ment à la fron­tière entre l’ordre et le chaos :


« Cela signi­fie que [le com­por­te­ment de ces struc­tures] est un sub­til équi­libre entre ce qu’il faut d’ordre pour qu’[elles] ne se dis­solvent pas et ce qu’il faut de liber­té pour leur per­mettre d’é­vo­luer, se trans­for­mer, s’a­dap­ter. »
[8]

                

Conditions dynamiques Vs conditions initiales…

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Un sys­tème com­plexe ne change pas pro­por­tion­nel­le­ment à la modi­fi­ca­tion de ses para­mètres. Il voit l’ef­fet pro­vo­qué par une modi­fi­ca­tion, si petite soit-elle, deve­nir au contraire dis­pro­por­tion­né. Si bien que son com­por­te­ment et son évo­lu­tion sont impos­sibles à pré­voir. Cependant, ce n’est pas le nombre de para­mètres du sys­tème qui consti­tue un frein à la pré­dic­tion. C’est l’in­fluence que ces para­mètres exercent les uns sur les autres, sous l’effet des boucles de rétro­ac­tion qui les lient entre eux. C’est le nombre de feed-back [9] qui compte. Et il ne s’agit pas d’un feed-back d’un élé­ment vers un autre, mais de tous les élé­ments vers tous les autres simul­ta­né­ment et conti­nuel­le­ment. Comme un océan per­pé­tuel­le­ment en mou­ve­ment, duquel on ne peut iso­ler, sinon arbi­trai­re­ment, la moindre trans­for­ma­tion.

Tout est intri­qué [10] dans les sys­tèmes com­plexes, qui sont, dès lors, irré­duc­tibles à leurs com­po­sants élé­men­taires.

« Chaque com­po­sant contri­bue au com­por­te­ment glo­bal à tra­vers ses inter­ac­tions locales avec les autres. Isoler des mor­ceaux du sys­tème change radi­ca­le­ment le com­por­te­ment du tout. La méthode ana­ly­tique clas­sique, consis­tant à décou­per un ensemble com­pli­qué en sous-systèmes sup­po­sés plus simples pour étu­dier leur com­por­te­ment et ten­ter de recons­ti­tuer le com­por­te­ment glo­bal par com­bi­nai­son échoue. (…) Un sys­tème com­plexe ne peut s’é­tu­dier que glo­ba­le­ment. » [11]


On peut croire qu’un sys­tème est linéaire par nature. Mais lorsqu’on réa­lise que c’est le fait de défi­nir des condi­tions ini­tiales arbi­traires qui isole le sys­tème, il n’est linéaire qu’aussi long­temps qu’il est lié à ces condi­tions. Définir des condi­tions ini­tiales masque la dyna­mique réel­le­ment à l’œuvre dans un uni­vers où rien n’est iso­lé de rien. Cela nous fait foca­li­ser sur le chaos géné­ré par le défaut de connais­sance des condi­tions ini­tiales dans leur ensemble. Mais ce manque d’information est-il réel­le­ment pré­ju­di­ciable ?

                 

… dans tous les systèmes…

particules-quantiques

Si vous êtes fami­liers avec la théo­rie de l’univers connec­té, tout se passe comme si on ne pre­nait pas en compte l’information enco­dée jusque-là sur la trame de l’espace-temps.

Plutôt, on fixe un ins­tant t arbi­traire. Et on laisse de côté le fait que les condi­tions ini­tiales telles que défi­nies à cet ins­tant dépendent des condi­tions anté­rieures qui ont mené le sys­tème jusqu’à ce point. On ne tient donc pas compte de la dyna­mique du sys­tème. Quand bien même met-elle en lumière une géo­mé­trie frac­tale comme le montre le gra­phique de bifur­ca­tion vers le chaos pré­sen­té plus haut. Et que, dès lors, quelles que soient les condi­tions ini­tiales choi­sies, cela ne change rien au com­por­te­ment géné­ral du sys­tème.

Considérer qu’il existe des sys­tèmes stables et des sys­tèmes instables est trom­peur. Il n’existe que des sys­tèmes com­plexes qui connaissent des phases stables et des phases instables. On peut suivre la pro­gres­sion linéaire de cer­taines variables au cours de la phase stable. On peut en déduire que toute per­tur­ba­tion exté­rieure sera amor­tie par le sys­tème et ne chan­ge­ra pas fon­da­men­ta­le­ment la tra­jec­toire des variables qui le com­posent. Mais on ne peut pas pour autant en déduire la sta­bi­li­té éter­nelle du sys­tème.

Ce n’est pas parce que les sys­tèmes sont stables qu’ils amor­tissent des per­tur­ba­tions « exté­rieures » [12], c’est parce que l’ac­cu­mu­la­tion de l’éner­gie appor­tée au sys­tème com­plexe via les per­tur­ba­tions n’est pas suf­fi­sante pour faire bou­ger le sys­tème. Dit autre­ment, il n’existe pas de sys­tèmes stables qui amor­tissent des per­tur­ba­tions, il n’existe que des per­tur­ba­tions qui ne sont pas encore assez nom­breuses pour faire bas­cu­ler dans l’instabilité les sys­tèmes en phase stable [13].

                     

… à toutes les échelles

Dans sa confé­rence « Chaos, impré­dic­ti­bi­li­té, hasard », le phy­si­cien et mathé­ma­ti­cien David Ruelle rap­pelle que la méca­nique quan­tique fait néces­sai­re­ment appelle au hasard. Ce-dernier cor­res­pond selon lui à une infor­ma­tion incom­plète. A la ques­tion de savoir s’il ne fau­drait pas uti­li­ser la méca­nique quan­tique dans la dis­cus­sion des rap­ports entre hasard et déter­mi­nisme, il met en avant le fait que les effets quan­tiques paraissent être négli­geables notam­ment pour le mou­ve­ment des astres.


« Pour une classe don­née de phé­no­mènes, plu­sieurs théo­ries sont en prin­cipe appli­cables et on peut choi­sir celle que l’on veut ; pour toute ques­tion rai­son­nable, la réponse devrait être la même sui­vant qu’on prend une théo­rie ou une autre ; dans un domaine d’ap­pli­ca­tion qui est valide pour les deux, on devrait avoir la même réponse. Donc en pra­tique on uti­li­se­ra la théo­rie la plus facile à appli­quer, dans les cas qui nous inté­ressent – dyna­mique de l’at­mo­sphère ou mou­ve­ment des pla­nètes – il est natu­rel d’u­ti­li­ser une théo­rie clas­sique et de ne pas essayer de faire de la méca­nique quan­tique. Après quoi il sera tou­jours temps de véri­fier que les effets quan­tiques ou rela­ti­vistes que l’on a négli­gés étaient réel­le­ment négli­geables et que somme toute les ques­tions que l’on s’est posées étaient des ques­tions rai­son­nables. » [14]


La méca­nique quan­tique telle qu’elle est actuel­le­ment pré­sen­tée – c’est-à-dire le monde quan­tique tel qu’il est actuel­le­ment inter­pré­té – montre ses limites dès lors qu’un lien avec la phy­sique cos­mo­lo­gique n’est pas en mesure d’être éta­bli. Aussi, peut-être que la ques­tion n’est pas de savoir s’il faut prendre en compte la méca­nique quan­tique, mais bien plu­tôt les rela­tions entre le monde quan­tique et l’échelle cos­mo­lo­gique.

                   

Précision ou prédiction ?

C’est bien ce que fait Nassim Haramein dans sa théo­rie du champ uni­fié. Sa démarche sus­cite une ques­tion : que deviennent les condi­tions ini­tiales dans un uni­vers infi­ni où tout est connec­té à toutes les échelles ? Question qui en entraîne une autre : l’espace-temps, et fina­le­ment la matière, pre­nant leur source dans l’infiniment petit, n’est-ce pas l’endroit où les condi­tions ini­tiales prennent éga­le­ment la leur ?


« Même dans [la théo­rie quan­tique], il est recon­nu qu’un appa­reil de mesure infi­ni pour­rait véri­fier avec une com­plète cer­ti­tude déter­mi­niste l’état quan­tique et la coor­di­na­tion spatio-temporelle de toutes les par­ti­cules dans un espace don­né. Hélas, un tel ins­tru­ment ne peut exis­ter car il s’effondrerait en un trou noir. Pourtant, il existe un trou noir de cette ampleur qui mesure l’état de tous les quan­ta fon­da­men­taux à tout moment : c’est l’Univers (…). » [15] et [16]


La théo­rie du chaos dit que l’on peut pré­voir la pré­sence d’un oura­gan à un endroit don­né à un moment don­né, sous réserve de connaître avec une pré­ci­sion extrême les condi­tions ini­tiales, c’est-à-dire les mou­ve­ments d’air jus­qu’au moindre bat­te­ment d’ailes d’un papillon. Dans la pra­tique, et quelle que soit la théo­rie uti­li­sée, connaître les condi­tions ini­tiales dans le but d’effectuer cette pré­dic­tion est impos­sible.

Mais avec la théo­rie de l’univers connec­té, il devient par­fai­te­ment secon­daire qu’elles soient connues ou pas. Connaître la dyna­mique de l’univers suf­fit à pré­dire que si l’on ali­mente suf­fi­sam­ment le sys­tème dans une cer­taine inten­tion, il ne pour­ra faire autre­ment que de la mani­fes­ter.

Dans le pro­chain article « Irréversibilité, mémoire et entro­pie », je conti­nue à explo­rer cette théo­rie sous d’autres angles. Restez connec­tés !

     


Points clés

  • La struc­ture des attrac­teurs étranges se répète à l’identique, à l’infini : c’est une frac­tale.

  • Il n’existe pas de sys­tèmes chao­tiques, tous les sys­tèmes sont com­plexes par nature. L’univers lui-même est un sys­tème com­plexe, com­po­sé de sous-systèmes com­plexes, dont les variables sont en constante inter­ac­tion.

  • Dans un sys­tème com­plexe, c’est le nombre de feed-back (frac­tales) de tous les para­mètres du sys­tème vers tous les autres, simul­ta­né­ment et conti­nuel­le­ment, qui compte.

  • Il n’existe ni sys­tèmes stables ni sys­tèmes instables. Il n’existe que des per­tur­ba­tions qui ne sont pas encore assez nom­breuses pour faire bas­cu­ler dans l’instabilité les sys­tèmes en phase stable.

  • Connaître la dyna­mique de l’univers plu­tôt que les condi­tions ini­tiales suf­fit à pré­dire que si l’on ali­mente suf­fi­sam­ment le sys­tème dans une cer­taine inten­tion, il ne pour­ra faire autre­ment que de la mani­fes­ter.                         

                      

                         

                          



Notes et références



Attracteurs étranges

[1] JUNG Carl Gustav, The Archetypes and the Collective Unconscious, Princeton University Press, 1934, p.32
[2] En réa­li­té, il ne s’agit pas vrai­ment d’une courbe, ni même d’une sur­face mais d’un ensemble ordon­né de valeurs dis­crètes (c’est-à-dire un ensemble conte­nant un nombre fini de valeurs entre deux valeurs quel­conques) consti­tué par la dyna­mique « chao­tique » du sys­tème.
[3] Source : Wikipédia
[4] Lorenz, Edward N., « Un bat­te­ment d’ailes de papillon au Brésil peut-il déclen­cher une tor­nade au Texas ? », Alliage 22 (1993), 42–45. Traduction fran­çaise du texte de la confé­rence de 1972, publié (en anglais) dans : The essence of chaos, The Jessie and John Danz Lecture Series, University of Washington Press, 1993.

   

L’exemple de l’anévrisme

[5] Un ané­vrisme est une dila­tion de la paroi d’une artère qui entraîne la créa­tion d’une poche à l’intérieur de laquelle le sang change de com­por­te­ment. Lire Mon Histoire pour com­prendre pour­quoi j’ai choi­si cet exemple impro­bable.
[6] Voir éga­le­ment à ce sujet l’article sur l’entro­pie ».

 

Les systèmes chaotiques dans l’univers connecté

[7] Un sys­tème com­plexe est un ensemble consti­tué d’un grand nombre d’en­ti­tés en inter­ac­tion qui empêchent l’ob­ser­va­teur de pré­voir sa rétro­ac­tion, son com­por­te­ment ou son évo­lu­tion par le cal­cul. D’après Wikipédia, Système com­plexe.
[8] ZWIRN Hervé, Les sys­tèmes com­plexes, Paris, Editions Odile Jacob, 2006, p.10
[9] La notion de feed-back sera éga­le­ment abor­dée dans l’article 4 « Gravité, entro­pie et auto-organisation » (bien­tôt en ligne)
[10] Deux par­ti­cules intri­quées ne peuvent pas être consi­dé­rées comme indé­pen­dantes, et ce quelle que soit la dis­tance qui les sépare. Elles forment un sys­tème unique où une action sur l’une a une réper­cus­sion ins­tan­ta­née sur l’autre. Dans l’univers connec­té, ce sont toutes les par­ti­cules qui sont intri­quées. Pour en savoir plus sur le phé­no­mène d’intrication, vous pou­vez consul­ter l’article « Indéterminisme et intri­ca­tion ».
[11] ZWIRN Hervé, Les sys­tèmes com­plexes, op.cit., p.19
[12] Il n’existe de toute façon pas de per­tur­ba­tions « exté­rieures » dans un uni­vers où tous les sys­tèmes sont inter­dé­pen­dants : rien n’est exté­rieur à rien.
[13] Nous aurons l’occasion d’y reve­nir dans l’article 5 « MeToo, ou l’autre effet papillon » (bien­tôt en ligne).
[14] Ruelle David, Chaos, impré­dic­ti­bi­li­té, hasard [vidéo], L’université de tous les savoirs, confé­rence n°218, août 2000
[15] « s lors que l’on consi­dère que la masse de notre Univers obser­vable est conte­nue dans son rayon actuel­le­ment mesu­ré, notre Univers obéis­sant ain­si à la condi­tion de Schwarzschild ou condi­tion du trou noir. »
[16] BROWN William et HARAMEIN Nassim (2014, 23 jan­vier) « L’espace-temps en tant qu’information — Un prin­cipe d’ordonnancement des sys­tèmes vivants » — Publication ori­gi­nale (en anglais)

 




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