Les systèmes chaotiques
                 

15 octobre 2017, 22h21, Alyssa Milano tweete : « Si vous avez été vic­time de har­cè­le­ment ou d’a­gres­sion sexuelle, écri­vez « Moi aus­si » en réponse à ce tweet » [1]. A cet ins­tant, les ailes du petit oiseau Twitter fré­missent. De bat­te­ment d’ailes en bat­te­ment d’ailes, une grosse tem­pête éclate. Un raz-de-marée vir­tuel qui fait remon­ter à la sur­face un ras-le-bol pla­né­taire, lui, bien pal­pable… Pourquoi ce tweet a‑t-il fait une dif­fé­rence ? Etaient-ce les bons mots ? Etait-ce le bon moment ?

Le mou­ve­ment MeToo marque sans conteste un tour­nant, une « bifur­ca­tion » dans les rela­tions femmes / hommes. Il y aura un avant et un après MeToo. Mais com­ment expli­quer  cette sou­daine  défer­lante  qui a lit­té­ra­le­ment  « don­né  aux  gens une idée de l’ampleur du pro­blème » [2] ? Simples  enchaî­ne­ments  de causes à effets ? Effet papillon ?

Pour ten­ter de mettre un peu d’ordre dans cette affaire, je vous invite à plon­ger avec moi dans la théo­rie du chaos. « Du chaos pour mettre de l’ordre ? C’est pas gagné… » pensez-vous. Et pour­tant, je m’en vais vous conter la grande his­toire d’amour de l’ordre et du chaos… La très grande his­toire même, en 5 articles !

                

Les systèmes chaotiques, une découverte majeure

Entrée en zone de turbulence

Au pre­mier abord, je vous accorde que le mot « chaos », et sur­tout l’imaginaire qu’il véhi­cule, n’ont rien de très sym­pa­thiques. Désordre, confu­sion, dis­per­sion, inco­hé­rence, pagaille, catas­trophe, tumulte et, si j’ose, déban­dade… est-ce vrai­ment néces­saire d’en faire une théorie ?

En fait, en mathé­ma­tiques, la théo­rie de chaos, c’est beau­coup plus sub­til que le grand n’importe quoi dont ça a l’air. Précisément, la théo­rie du chaos étu­die les sys­tèmes dyna­miques non-linéaires. Traduction ? La théo­rie du chaos étu­die les sys­tèmes dont le com­por­te­ment évo­lue dans le temps de façon non prédictible.

La pomme qui tombe sur la tête de Newton suit une évo­lu­tion par­fai­te­ment linéaire et pré­dic­tible. Le déter­mi­nisme clas­sique nous apprend d’ailleurs que connaître tous les para­mètres d’un sys­tème per­met d’anti­ci­per faci­le­ment son évo­lu­tion. Ca c’est la théo­rie, et elle fonc­tionne pour des sys­tèmes pour les­quels modi­fier les condi­tions ini­tiales ne change pas grand-chose. Ainsi, que la pomme se trouve à un demi-centimètre ou à 300 km de son point de réfé­rence, elle tombe quand même, et dans les mêmes condi­tions. Si ce n’est qu’à un demi-centimètre près, Newton se la prend tou­jours sur la tête !

Dans la pra­tique, connaître avec une pré­ci­sion infi­nie les condi­tions ini­tiales d’un sys­tème est impos­sible. Et quand un sys­tème est très sen­sible aux condi­tions ini­tiales, l’influence de ce manque d’informations sur la pré­dic­tion de son com­por­te­ment est signi­fi­ca­tive. Le sys­tème devient tout sim­ple­ment impré­dic­tible à long terme. De tels sys­tèmes sont dits chaotiques.

               

Caractéristiques des systèmes chaotiques

L’exemple de la cir­cu­la­tion san­guine per­met de bien se repré­sen­ter les choses. A l’intérieur de l’artère, l’écoulement du sang est régu­lier. On parle de flux san­guin lami­naire : les tra­jec­toires des par­ti­cules voi­sines à un ins­tant don­né res­tent voi­sines aux ins­tants sui­vants. Mais si le sang s’engouffre dans un ané­vrisme [3], il en va tout autre­ment de son com­por­te­ment. Son écou­le­ment devient tur­bu­lent et chao­tique, son appa­rence com­plexe et aléa­toire. Pour autant, il n’est pas dépour­vu de cohé­rence ni d’ordre. Nous aurons l’occasion d’y reve­nir dans le pro­chain article « Du chaos à l’interdépendance ».

Pour résu­mer, les sys­tèmes chao­tiques sont :

• fer­més : ils n’échangent ni éner­gie ni infor­ma­tion avec l’extérieur.
• dyna­miques : leur struc­ture et leur exis­tence même sont condi­tion­nées par leur évo­lu­tion, quand bien même cette évo­lu­tion suit une équa­tion non-linéaire.
• déter­mi­nistes et très sen­sibles aux condi­tions ini­tiales : leur com­por­te­ment futur est entiè­re­ment déter­mi­né par les condi­tions ini­tiales, sans inter­ven­tion du hasard. Une infime varia­tion de ces condi­tions a cepen­dant des consé­quences consi­dé­rables ; on parle de chaos déter­mi­niste.
• impré­dic­tibles au-delà d’une cer­taine limite tem­po­relle, du fait qu’on ne puisse pas connaître les condi­tions ini­tiales avec une pré­ci­sion infinie.

             

Minute, papillon !

La théo­rie du chaos a été popu­la­ri­sée par l’image du papillon. Le bat­te­ment de ses petites ailes fra­giles repré­sente la sen­si­bi­li­té des sys­tèmes chao­tiques aux condi­tions ini­tiales. Cette théo­rie a été mise en évi­dence dans un contexte météo­ro­lo­gique, mais avec le temps, si je puis dire, elle a éga­le­ment trou­vé d’autres appli­ca­tions, notam­ment en psychologie.

Alors, l’effet Metoo est-il à la météo inté­rieure des femmes ce que l’effet papillon est au temps qu’il fait dehors ? La psy­cho­lo­gie semble en effet éta­blir cer­tains paral­lèles entre « la météo interne du psy­chisme » et la théo­rie du chaos. Le psy­cho­logue cli­ni­cien Jérémie Vandervoode explique ainsi :

« [La météo interne du psy­chisme] qui pro­duit [cer­tains] phé­no­mènes et leur oscil­la­tion bru­tale implique tou­te­fois tel­le­ment de para­mètres qu’il en devient impos­sible de pré­dire la tra­jec­toire de tous les com­po­sants pris indi­vi­duel­le­ment. » [4]

Prenons un peu de hau­teur et regar­dons le phé­no­mène MeToo non plus seule­ment à l’échelle du psy­chisme indi­vi­duel mais à celle du psy­chisme col­lec­tif. Pour com­prendre com­ment un simple tweet a pu avoir un tel reten­tis­se­ment et une telle influence dans le monde, il faut com­prendre que la théo­rie du chaos ne dit pas « de petites causes pro­duisent de grands effets », mais « un très grand nombre de petites causes pro­duit de grands effets ». Mieux, c’est la réso­nance de très nom­breuses petites causes qui finit par faire bas­cu­ler le sys­tème et entraî­ner toute sa dyna­mique vers un autre type de com­por­te­ment. Nous revien­drons sur le phé­no­mène de réso­nance tout au long de cette série d’ar­ticles, et par­ti­cu­liè­re­ment dans le der­nier, #MeToo ou l’autre effet papillon.

Pour l’heure, j’aimerais mettre l’accent sur les fon­de­ments même de la théo­rie du chaos, qui m’interpellent.

              

Des questions déterminantes

Ce ques­tion­ne­ment me semble déter­mi­nant pour ten­ter de com­prendre la dyna­mique des sys­tèmes chao­tiques, et le mou­ve­ment MeToo en par­ti­cu­lier. Je pose ici les bases, qui seront déve­lop­pées dans les articles sui­vants, au regard de la théo­rie de l’univers connec­té de Nassim Haramein.
            

1. Les sys­tèmes dyna­miques non-linéaires, qui sont l’objet d’étude de la théo­rie du chaos, obéissent à la loi de cau­sa­li­té et au déter­mi­nisme. Selon la théo­rie de l’univers connec­té, le déter­mi­nisme n’est pour­tant pas tou­jours à l’œuvre dans l’univers. Il alterne avec l’indéterminisme, de sorte que tout est tou­jours en train de se déter­mi­ner. Nassim Haramein montre que le lien entre le côté déter­mi­niste et le côté non-déterministe, donc non-prédictible, de l’univers se fait par l’intermédiaire des frac­tales qui comme nous le ver­rons… sont étroi­te­ment liées aux sys­tèmes chaotiques !
   
   
2. La pro­blé­ma­tique des condi­tions ini­tiales ren­voie à celle des sys­tèmes iso­lés. Car si le sys­tème n’est pas iso­lé de son envi­ron­ne­ment à un moment don­né, à par­tir de quand estime-t-on qu’il se trouve dans les condi­tions ini­tiales vou­lues ? Et que devient la notion de condi­tions ini­tiales dans un uni­vers infi­ni où tout est connecté ?
   
   
3. Le  com­por­te­ment futur des sys­tèmes  dyna­miques est  entiè­re­ment  déter­mi­né par les condi­tions  ini­tiales, sans  inter­ven­tion du hasard. Mais com­ment définit-on le hasard ?

4. Si le ques­tion­ne­ment pré­cé­dent nous entraîne plus loin que le cadre de réfé­rence stan­dard des sys­tèmes chao­tiques, quelle est alors la dyna­mique qui sous-tend réel­le­ment l’effet papillon ?

Retournons dans la chry­sa­lide pour ten­ter de com­prendre com­ment tout cela a commencé…

                

Un peu d’histoire

La théo­rie du chaos trouve son ori­gine dans une simple ques­tion : le sys­tème solaire est-il stable ? Question qui remonte au moins à l’époque d’Isaac Newton (1642 – 1727) lorsqu’il a énon­cé sa loi de la gra­vi­ta­tion uni­ver­selle [5]. Si celle-ci per­met de cal­cu­ler et sur­tout de pré­voir les mou­ve­ments célestes, elle n’est pré­cise que tant que le sys­tème étu­dié ne com­porte que deux objets. A par­tir de trois objets, des déca­lages appa­raissent entre les cal­culs et ce qui est réel­le­ment obser­vé. Autrement dit, le sys­tème devient chaotique.

                   

Les travaux d’Henri Poincaré

De la notion de trajectoire à celle de résonance

C’est le mathé­ma­ti­cien fran­çais Henri Poincaré (1854 – 1912) qui a mis cette dyna­mique en évi­dence en étu­diant le mou­ve­ment de trois corps en inter­ac­tion gra­vi­ta­tion­nelle : la terre, le soleil et la lune. Lui qui cher­chait une preuve de la sta­bi­li­té du sys­tème solaire a mon­tré, à l’inverse, l’in­cer­ti­tude cachée der­rière la loi léguée par Newton. Posant par là-même les solides fon­da­tions de la théo­rie du chaos.

Précisément, il a mon­tré que d’infimes incer­ti­tudes sur l’état ini­tial d’un sys­tème, au lieu de res­ter à peu près les mêmes au cours du temps, vont au contraire s’amplifier. Et ce de façon expo­nen­tielle. Ainsi, le moindre écart dans les condi­tions ini­tiales peut entraî­ner des consé­quences consi­dé­rables, impos­sibles à pré­voir à long terme. Le sys­tème, bien que par­fai­te­ment décrit par les équa­tions, finit alors par avoir une dyna­mique imprévisible.

Cependant, sur un temps rela­ti­ve­ment court à l’échelle galac­tique, et de façon tran­si­toire, les orbites des pla­nètes sont aus­si régu­lières que les mou­ve­ments d’une hor­loge. C’est la rai­son pour laquelle on peut pré­dire avec une grande pré­ci­sion des phé­no­mènes natu­rels comme les marées ou les éclipses.

Le phy­si­cien Ilya Prigogine (1917 – 2003) rap­pelle que Poincaré « a intro­duit la notion cru­ciale de « sys­tème dyna­mique non inté­grable » [6] et [7]. » La plu­part des sys­tèmes dyna­miques sont en effet non inté­grables car il existe des réso­nances entre les degrés de liber­té du sys­tème. C’est-à-dire : les variables aléa­toires qui ne peuvent être déter­mi­nées ou fixées par une équa­tion sont sen­sibles à cer­taines fré­quences. En fait, les réso­nances rendent obso­lète la façon de pen­ser de la phy­sique new­to­nienne car elles nous invitent à pen­ser autre­ment qu’en termes de trajectoires.

« La non-intégrabilité est due aux réso­nances [8] (…) Elles intro­duisent donc un élé­ment étran­ger à la notion de tra­jec­toire. » [9]

            

La question du hasard

Poincaré a éga­le­ment abor­dé la notion de hasard. Longuement, puisqu’il y a consa­cré un cha­pitre dans son ouvrage Science et Méthodes. Voici peut-être l’essence de sa pensée :

« Une cause très petite, qui nous échappe, déter­mine un effet consi­dé­rable que nous ne pou­vons pas ne pas voir, et alors nous disons que cet effet est dû au hasard (…). Il peut arri­ver que de petites dif­fé­rences dans les condi­tions ini­tiales en engendrent de très grandes dans les phé­no­mènes finaux ; une petite erreur sur les pre­mières pro­dui­rait une erreur énorme sur les der­niers. La pré­dic­tion devient impos­sible et nous avons le phé­no­mène for­tuit ». [10]

En somme, le chaos déter­mi­niste jux­ta­pose deux notions a prio­ri contra­dic­toires. D’un côté, le déter­mi­nisme qui ne laisse aucune place au hasard. De l’autre, le chaos qui, rele­vant de l’imprévu par nature, repose sur le hasard.

Le phy­si­cien David Ruelle résume bien la pen­sée de Poincaré, pré­ci­sant que pour ce-dernier l’incer­ti­tude du chaos – la sen­si­bi­li­té des sys­tèmes chao­tiques aux condi­tions ini­tiales – est une source de hasard. Autrement dit, « le hasard cor­res­pond à une infor­ma­tion incom­plète (…) » [11] et [12].

Mais à l’époque, on a rete­nu des tra­vaux de Poincaré que « d’infimes varia­tions des condi­tions ini­tiales entraînent des com­por­te­ments impré­dic­tibles. » [13]

                 

Lorenz et l’effet papillon 

C’est cette for­mu­la­tion que le mathé­ma­ti­cien météo­ro­lo­giste Edward Lorenz (1917–2008) a popu­la­ri­sé avec la méta­phore du papillon. Mais com­ment Lorenz en est-il arri­vé à ima­gi­ner que le mou­ve­ment infime des ailes d’un papillon pour­rait pro­vo­quer une tem­pête à des mil­liers de kilo­mètres ? Simplement parce qu’au cours de ses propres tra­vaux, il s’est retrou­vé confron­té à l’im­por­tance des condi­tions ini­tiales, comme Poincaré l’a été.

Nous sommes au début des années 60 et Lorenz uti­lise un ordi­na­teur plu­tôt rudi­men­taire ins­tal­lé au Massachusetts Institute of Technology. Rien à voir avec le maté­riel infor­ma­tique des années 70, qui per­met­tra de visua­li­ser pré­ci­sé­ment et immé­dia­te­ment la com­plexi­té du sys­tème solaire par exemple.

Pour l’heure, Lorenz cherche à modé­li­ser la convec­tion atmo­sphé­rique [14]. Il écrit pour ce faire un sys­tème sim­pli­fié d’é­qua­tion [15]. Un jour, sou­hai­tant reprendre son tra­vail là où il l’avait lais­sé, il arron­dit au cen­tième les valeurs trou­vées, puis les réin­tro­duit dans ses équa­tions. Il réa­lise alors que le simple fait d’avoir arron­di les valeurs a le même effet qu’une infime varia­tion des condi­tions ini­tiales : il se trouve nez à nez avec un sys­tème chaotique !

Dans un article [16] de 1963, Lorenz explique la théo­rie du bat­te­ment d’ailes d’un papillon, qui ne porte tou­te­fois pas encore cette appel­la­tion. Il fau­dra attendre pour cela 1972, alors qu’il donne une confé­rence à l’American Association for the Advancement of Science. C’est l’organisateur, le météo­ro­logue Philip Merilees, qui a choi­si le titre : « Prédictibilité : le bat­te­ment d’ailes d’un papillon au Brésil peut-il pro­vo­quer une tor­nade au Texas ? ». Lorenz a décou­vert le titre trop tard pour le modi­fier, l’expression est res­tée. Il a cepen­dant très rapi­de­ment pris cer­taines pré­cau­tions par rap­port à cette formulation. 

              

Une mise en perspective nécessaire

Il explique en effet :

« De crainte que le seul fait de deman­der, sui­vant le titre de cet article, « Un bat­te­ment d’ailes de papillon au Brésil peut-il déclen­cher une tor­nade au Texas ? », fasse dou­ter de mon sérieux, sans même par­ler d’une réponse affir­ma­tive, je met­trai cette ques­tion en pers­pec­tive en avan­çant les deux pro­po­si­tions suivantes :

• Si un seul bat­te­ment d’ailes d’un papillon peut avoir pour effet le déclen­che­ment d’une tor­nade, alors, il en va ain­si éga­le­ment de tous les bat­te­ments pré­cé­dents et sub­sé­quents de ses ailes, comme de ceux de mil­lions d’autres papillons, pour ne pas men­tion­ner les acti­vi­tés d’in­nom­brables créa­tures plus puis­santes, en par­ti­cu­lier de notre propre espèce ;
• Si le bat­te­ment d’ailes d’un papillon peut déclen­cher une tor­nade, il peut aus­si l’empêcher. Si le bat­te­ment d’ailes d’un papillon influe sur la for­ma­tion d’une tor­nade, il ne va pas de soi que son bat­te­ment d’ailes soit l’o­ri­gine même de cette tor­nade et donc qu’il ait un quel­conque pou­voir sur la créa­tion ou non de cette der­nière. » [17]

Ce n’est donc pas le bat­te­ment d’ailes en soi qui cause la tor­nade. La for­ma­tion de la tor­nade est due à l’évolution de l’atmosphère, sen­sible à des modi­fi­ca­tions mêmes minuscules. 

Poursuivant ses tra­vaux, Lorenz a éga­le­ment mis en évi­dence une pro­prié­té remar­quable des sys­tèmes chao­tiques… que je vous invite à décou­vrir dans le pro­chain article « Du chaos à l’interdépendance » !

           

Points clés Les sys­tèmes chao­tiques sont fer­més, dyna­miques, déter­mi­nistes et très sen­sibles aux condi­tions ini­tiales, et donc impré­dic­tibles au-delà d’une cer­taine limite temporelle.  La théo­rie du chaos ne dit pas « de petites causes pro­duisent de grands effets », mais « la réso­nance d’un très grand nombre de petites causes pro­duit de grands effets ».  La sen­si­bi­li­té aux condi­tions ini­tiales a été popu­la­ri­sée par la méta­phore du papillon. Mais ce n’est pas le bat­te­ment d’ailes en soi qui cause une tor­nade : la for­ma­tion de la tor­nade est due à l’évolution de l’atmosphère, sen­sible à des modi­fi­ca­tions mêmes minuscules.

              

                 

             

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Notes et références

[1] Tweet ori­gi­nal : « If you’ve been sexual­ly haras­sed or assaul­ted write « me too » as a reply to this tweet. »
[2] Le tweet d’Alyssa Milano fait suite à celui d’une de ses amies, Charlotte Clymer : « If all the women who have been sexual­ly haras­sed or assaul­ted wrote « me too » as a sta­tus, we might give people a sense of the magni­tude of the problem. »

Caractéristiques des systèmes chaotiques

[3] Un ané­vrisme est une dila­tion de la paroi d’une artère qui entraîne la créa­tion d’une poche à l’intérieur de laquelle le sang change de com­por­te­ment. Lire Mon Histoire pour com­prendre pour­quoi j’ai choi­si cet exemple impro­bable.
[4] Vandervoode Jérémie, Les pro­ces­sus dyna­miques – la théo­rie du chaos en psy­cho­lo­gie, in Le Journal des psy­cho­logues, n°203, décembre 2010 – jan­vier 2011, p.70

Les travaux d’Henri Poincaré

[5] La loi uni­ver­selle de la gra­vi­ta­tion est une loi décri­vant la gra­vi­ta­tion comme une force res­pon­sable de la chute des corps et du mou­ve­ment des corps célestes, et donc de leur tra­jec­toire. De façon géné­rale, Newton éta­blit que tous les corps pos­sé­dant une masse exercent l’un sur l’autre une force équi­va­lente qui les attire l’un vers l’autre.
[6] PRIGOGINE Ilya, La fin des cer­ti­tudes, Paris, édi­tions Odile Jacob, 1996, p.44
[7] Une inté­grale per­met de cal­cu­ler l’aire sous la courbe de n’im­porte quelle fonc­tion. Il s’a­git d’une somme conti­nue (et non pas dis­crète), comme si on addi­tion­nait une infi­ni­té de valeurs. Un sys­tème non inté­grable est donc un sys­tème dont l’évolution ne peut pas être cal­cu­lée indé­fi­ni­ment par des équa­tions décri­vant des tra­jec­toires pré­cises.
[8] La ques­tion des réso­nances est abor­dée plus en détails dans les articles Irréversibilité, mémoire et entro­pie et Gravité, entro­pie et auto-organisation.
[9] PRIGOGINE Ilya, La fin des cer­ti­tudes, op.cit., p.127
[10] POINCARE Henri, Science et Méthode, Paris : Ed. Flammarion, 1908, pp.68–69
[11] RUELLE David, Chaos, impré­dic­ti­bi­li­té, hasard [vidéo], L’université de tous les savoirs, confé­rence n°218, août 2000
[12] Plus posi­ti­ve­ment, je dirais que la notion de hasard relève du fait que « je ne sais pas ce que je ne sais pas » (voir l’article Comment apprend-on ? au sujet de cette affir­ma­tion). Et nous rap­pelle à la fois l’importance et l’influence de ce que l’on ne connaît pas (lire éga­le­ment l’article Hasard ou Synchronicité ?).
[13] Notons que cette for­mu­la­tion est déjà plus juste que : « de petites causes ont pro­duit de grands effets ».

Lorenz et l’effet papillon

[14] La convec­tion atmo­sphé­rique désigne l’en­semble des mou­ve­ments internes de l’at­mo­sphère ter­restre résul­tant d’une insta­bi­li­té de l’air due à une dif­fé­rence de tem­pé­ra­ture ver­ti­cale ou hori­zon­tale.
[15] Le sys­tème d’é­qua­tion appro­prié, celui de Navier-Stokes, était trop com­pli­qué à résoudre pour l’or­di­na­teur dont Lorenz dis­po­sait. Il a donc sim­pli­fié le sys­tème pour ne conser­ver que trois degrés de liber­té.
[16] Lorenz, Edward N. (1963). Deterministic non­pe­rio­dic flow, in Journal of the atmos­phe­ric sciences, 20(2), pp.130–141.
[17] Lorenz, Edward N., « Un bat­te­ment d’ailes de papillon au Brésil peut-il déclen­cher une tor­nade au Texas ? », Alliage 22 (1993), 42–45. Traduction fran­çaise du texte de la confé­rence de 1972, publié (en anglais) dans : The essence of chaos, The Jessie and John Danz Lecture Series, University of Washington Press (1993).

             

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